Hoje na Rua: Aula 26 Poliedros com Mr Euler

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Monday, May 7, 2012

Hoje na Rua: Aula 26 – poliedros com Mr Euler!

EAD 545 – Matemática para o Ensino Básico II

Módulo 2 - Aula 26 – Poliedros

PP 149 - 156


 (foto)

Leonhard Euler


Objetivos:

  • Identificar os poliedros
  • Aplicar o Teorema de Euler
Na Aula 6 definimos polígonos convexos. A noção de convexidade para polígonos, que são figuras planas, estende-se para poliedros, que são figuras no espaço (p. 150).

Teorema de Euler: Para tudo poliedro convexo tem-se que V + F = A + 2, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.

Veja o site: Geometria: Várias Dimensões:

A fórmula de Euler é dada pela expressão V + F = A + 2, onde V, F e A são, respectivamente, o número de vértices, faces e arestas do poliedro. Euler descobriu essa relação em 1750 e fez extensas verificações da sua conjectura, para diversos tipos de sólidos, mas não apresentou nenhuma demonstração, dizendo o seguinte:

Devo admitir em primeiro lugar que ainda não consegui uma demonstração rigorosa deste teorema. Como, em todo o caso, a sua verdade foi estabelecida em tantos casos, não pode haver dúvidas que é verdadeiro para qualquer sólido. Portanto a proposição parece satisfatoriamente demonstrada.

Posteriormente, Euler acabou por apresentar uma demonstração. Para Euler, o teorema aplica-se a todos os poliedros. No entanto, vários matemáticos atacaram essa tese, contestando o fato de não ser dada uma definição de poliedro. Este fato originou uma grande controvérsia em torno desse teorema, levando a sucessivas demonstrações e refutações da sua validade. Algumas refutações baseavam-se na descoberta de poliedros que não verificavam a teoria. Alguns desses poliedros não-eulerianos, também designados por monstros, apresentam-se na figura seguinte.





Resumo

Nessa aula você aprenderá:

  •  O que são poliedros.
  • O teorema de Euler.
  • O que são poliedros regulares.
  • Que existem apenas cinco poliedros regulares, denominado Poliedros de Platão.
Vamos discutir no fórum as suas ideias referentes:

a.       Aos problemas: 2, 3, 6, 10, 12, 16, 17, 18, 19

b.      A sua coleção de palavras, definindo para o vocabulário:

    • Poliedro
    • Vértices
    • Arestas
    • Faces
Links:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/fm_euler.htm

http://drikamath.files.wordpress.com/2011/02/teorema-de-euler-sobre-poliedros.pdf


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